La proporción áurea es una proporción que se ha considerado la más perfecta y armoniosa desde la antigüedad. Forma la base de muchas estructuras antiguas, desde estatuas hasta templos, y es muy común en la naturaleza. Al mismo tiempo, esta proporción se expresa en construcciones matemáticas sorprendentemente elegantes.
Instrucciones
Paso 1
La proporción áurea se define de la siguiente manera: es tal división de un segmento en dos partes que la parte más pequeña se refiere a la más grande de la misma manera que la parte más grande se refiere a todo el segmento.
Paso 2
Si la longitud de todo el segmento se toma como 1, y la longitud de la mayor parte se toma como x, entonces la proporción buscada se expresará mediante la ecuación:
(1 - x) / x = x / 1.
Multiplicando ambos lados de la proporción por xy transfiriendo los términos, obtenemos la ecuación cuadrática:
x ^ 2 + x - 1 = 0.
Paso 3
La ecuación tiene dos raíces reales, de las cuales, naturalmente, solo nos interesa la positiva. Es igual a (√5 - 1) / 2, que es aproximadamente igual a 0, 618. Este número expresa la proporción áurea. En matemáticas, la mayoría de las veces se indica con la letra φ.
Paso 4
El número φ tiene varias propiedades matemáticas notables. Por ejemplo, incluso de la ecuación original se ve que 1 / φ = φ + 1. De hecho, 1 / (0, 618) = 1, 618.
Paso 5
Otra forma de calcular la proporción áurea es usar una fracción infinita. A partir de cualquier x arbitraria, puede construir secuencialmente una fracción:
X
1 / (x + 1)
1 / (1 / (x + 1) + 1)
1 / (1 / (1 / (x + 1) + 1) +1)
etc.
Paso 6
Para facilitar los cálculos, esta fracción se puede representar como un procedimiento iterativo, en el que para calcular el siguiente paso, debe agregar uno al resultado del paso anterior y dividir uno por el número resultante. En otras palabras:
x0 = x
x (n + 1) = 1 / (xn + 1).
Este proceso converge y su límite es φ + 1.
Paso 7
Si sustituimos el cálculo del recíproco por la extracción de la raíz cuadrada, es decir, realizamos un ciclo iterativo:
x0 = x
x (n + 1) = √ (xn + 1), entonces el resultado permanecerá sin cambios: independientemente de la x elegida inicialmente, las iteraciones convergen al valor φ + 1.
Paso 8
Geométricamente, la proporción áurea se puede construir utilizando un pentágono regular. Si dibujamos dos diagonales que se cruzan en él, cada una de ellas dividirá a la otra estrictamente en la proporción áurea. Esta observación, según la leyenda, pertenece a Pitágoras, quien quedó tan conmocionado por el patrón encontrado que consideró que la estrella correcta de cinco puntas (pentagrama) era un símbolo divino sagrado.
Paso 9
Se desconocen las razones por las que es la proporción áurea que a una persona le parece más armoniosa. Sin embargo, los experimentos han confirmado repetidamente que los sujetos que recibieron instrucciones de dividir el segmento en dos partes desiguales lo hacen de la manera más hermosa en proporciones muy cercanas a la proporción áurea.
